옵션의 개념과 종류(복제 portfolio approach)

옵션의 개념과 종류(복제 portfolio approach)

옵션의 개념과 종류(복제 portfolio approach)

먼저 콜옵션은 기초자산을 정해진 가격에 살 수 있는 권리이고, 풋옵션은 기초자산을 정해진 가격에 팔 수 있는 권리입니다. 그리고 또 이 기초자산의 path dependence에 따라서 유럽형, 또는 미국형이 있는데 European 옵션은 만기시점에만 행사 가능한 거, 즉 만기시점의 기초자산의 가격에 의존하는 거, 그다음에 American 옵션은 만기시점뿐만 아니라 그 이전에도 행사가 가능하기 때문에 즉 만기시점의 기초자산의 가격에 의존하는 거, 사실은 기초자산이 만기시점 가격뿐만 아니라 그 이전의 모든 기초자산에 다 의존하게 되는 것입니다. 그래서 경로 의존적인 것이죠. 그래서 이런 미국형이 있는데 본 강의에서는 European 옵션에 대해서만 살펴보도록 하겠습니다. 그래서 행사 가격은 K로 표시하고요. 만기는 T, 대문자 T로 표시를 하고 현재 시점은 0 시점 또는 t로 표시하는 것이 convention입니다. 그래서 여기서 option pricing formula는 세 가지 approach를 설명하도록 하겠습니다.

복제 portfolio approach

복제 portfolio approach가 있습니다. 그리고 또 한 가지는 수학적으로 Equivalent martingale measure approach가 있는데 이 martingale theory를 응용하는 것이죠. 앞에서 간략하게 살펴봤습니다. 그리고 세 번째는 우리가 참고로 1950년대 Arrow-Debreu라는 유명한 경제학자가 State Price라는 것을 소개했는데 개념상으로는 아주 뛰어난 이론입니다. 물론 현재 보험 쪽, insurance 쪽에서는 이론적으로 Arrow-Debreu의 State Price가 textbook에 남아 있긴 합니다. 하지만 실제로 practice가 거의 불가능하기 때문에 실제로는 복제 portfolio나 Equivalent martingale measure approach가 이쪽 분야에서 활용되고 있습니다.

복제 portfolio approach 통한 개념 잡기

복제 portfolio approach를 통해서 설명하도록 하겠습니다. 그래서 내가 채권을 산다는 거는 무엇을 의미하는 것일까요? 바로 내가 perfect capital market에 돈을 빌려주는 것, 즉, 은행에 돈을 deposit 하는 걸 의미하는 것이죠. 채권을 판다는 건 뭘까요? 내가 채권을 팔아서 돈을, 현금을 빌리는 것을 말합니다. 그래서 이 채권 시장과 현금, loan of market 시장은 동전의 양면으로 여러분 해석을 해야 되기 때문에 해석에 있어서 매우 주의하시기 바랍니다. 그래서 우리가 채권을 샀다고 하는 것은 내가 돈을 저축했다. cash를 저축했다. 채권을 팔았다는 얘기는 돈을 빌렸다는 의미가 되겠습니다. 그리고 한 가지 더 중요한 것은 우리가 여기서 x가 주식의 position이 -라고 하는 것은 주식을 파는 것이죠. 우리가 finance에서 초기의 initial budget은 경제학과 달리 0입니다. 내가 그 어떤 budget을 가지고 있다고 가정하지 않습니다. 0입니다. 그래서 내가 주식을 사기 위해서는 사실은 돈을 빌려서 주식을 사야 되는 그 가정을 의미하고 있습니다. 그래서 돈을 빌려주고 빌리는 그 시장을 우리가 perfect capital market라고 하는데 그것이 바로 채권시장과 연계되어 있는 것이죠. 그래서 여기서 우리는 리스크가 없다고 가정하기 때문에 risk full rate으로 무한정의 돈을 빌릴 수 있고 무한정의 돈을 빌려줄 수도 있습니다. 그러기 때문에 그 시장이 존재한다고 가정하고요. 그래서 이 주식 position이 -라는 것은 주식을 short 하는 건데 그것은 무엇을 의미하는가 하면 내가 perfect capital market에 가서 돈을 빌려서 주식을 하나 사서 만기시점에 가서는 그 빌린 주식을 시장에서 팔고 그 판 주식대금으로 초기시점에 빌렸던 원금과 이자를 갚게 되는 스토리가 되겠습니다. 그래서 내가 현재 나의 모든 투자자의 예산은 0입니다. 그래서 그걸 여러분들이 꼭 명심하시기 바랍니다. 물론 이론은 여기에서 출발하는 것이죠. 물론 여러분들이 보통 주식을 사기 위해서는 자기 여유자금으로 하지만 이론적으로는 모든 투자자의 예산은 0입니다. 그래서 공매도를 의미하는 것이죠. 주식을 short 한다는 것은 공매도를 의미합니다. 그러기 때문에 내가 현재 시점에서 돈을 빌려서 주식을 사는 것은, 매수 position이지만 공매도는 뭔가 하면 내가 돈을 빌리는 게 아니라 주식을 빌려서 지금 주식을 팔고 그 주식대금을 내가 챙기는 걸 의미합니다. 그런데 내가 주식을 빌려서 팔았으면 만기시점에 가서는 다시 시장에서 주식을 사 가지고 주식 빌린 주인한테 돌려줘야 되는 것이죠. 바로 그 과정이 남아 있게 됩니다. 그래서 통상 우리가 공매도는 주식 가격이 하락할 것을 예상하고 많이 하게 되는 투자 전략인 것입니다. 그래서 이제 이 portfolio가 있는데요. 이 portfolio를 replicating portfolio라고 하는 것은 뭘 의미하느냐면 이 portfolio 주식하고 채권을 가지고 콜옵션을 복제한다는 것이죠. 그래서 그런 의미에서 복제 portfolio가 되겠습니다. 사실은 market이 complete 하면 그 market에 있는 모든 자산은 다른 자산에 의해서 복제가 가능합니다. 그래서 우리가 여기 3개에서 거의 대부분의 finance textbook에서는 주식 채권 가지고 콜옵션을 복제합니다. 하지만 이 주식과 콜옵션을 가지고 무위험자산을 복제해도 되고요. 그다음에 콜옵션과 무형자산을 가지고 주식을 복제할 수도 있습니다.